Факторизация алгебраического выражения - это процедура, посредством которой это выражение записывается как умножение. При факторизации многочленов подразумевается найти два или более факторов, которые имеют то же алгебраическое выражение, что и произведение.
Цель факторизации многочленов состоит в том, чтобы представить многочлен как произведение нескольких других многочленов меньшей степени.
факторами алгебраического выражения являются термины или его компоненты. Важно то, что при умножении друг на друга они дают результат, равный первому выражению. Это можно увидеть на примере:
Алгебраическое выражение: x (x + y)
Умножая члены друг на друга, получаем: x2 + ху
Таким образом: x (x + y) = x2 + ху
Общий фактор
Факторинг полиномов не всегда возможен. Требуется, чтобы между ними был хотя бы один общий фактор. Здесь действует та же логика, что и в простых числах, которые делятся только сами по себе и на единицу. Таким же образом есть многочлены, которые делятся только сами на себя и на 1.
Например, у нас есть выражение: xa + yb + zc. Как вы видете, между этим нет общего факторас. В этих случаях факторинг не может быть осуществлен.
Общий множитель многочлена - это наибольший общий делитель тех членов, из которых он составлен. Это пример того:
В выражении a2х + а2а общий фактор - это2
Чтобы провести факторизацию, разделите члены на2, Так:
- a2x: к2 = х
- a2y: к2 = и
Таким образом, факторизация выглядит так:
a2х + а2у = а2(х + у)
Общий множитель при факторизации многочленов
При факторизации многочленов это тот случай, когда некоторые термины имеют общий фактор, а другие нет. Когда это происходит, необходимо сгруппировать термины, используя круглые скобки.
Группировать можно разными способами. Важно только то, что сгруппированные термины имеют общий фактор. Независимо от того, как производится группировка, результат всегда будет одинаковым. Это пример:
ха + уа + хб + уб
Эти термины можно сгруппировать следующим образом:
(ха + уа) + (хb + yb)
Тогда они будут такими:
а (х + у) + Ь (х + у)
Выделив общий множитель и выполнив разложение, мы получим результат:
xa + ya + xb + yb = (x + y) (а + b)
Как указано выше, группирование может быть выполнено несколькими способами. В этом же примере есть другая альтернатива сгруппировать термины:
ха + уа + хб + уб
(ха + хб) + (я + уб)
х (а + б) + у (а + б)
xa + ya + xb + yb = (a + b) (x + y)
Как уже отмечалось, конечный результат всегда один и тот же. Соблюдается коммутативный закон: порядок множителей не меняет продукт.
Фактор многочленов по замечательным произведениям
Другой способ разложить многочлены на множители: через замечательные продукты, которые являются: трехчленом полного квадрата и трехчленом вида x2 + bx + c. Другие примечательные случаи произведения, которые предлагает алгебра, применимы только к биномам.
Полный квадрат трехчлена
Es многочлен, состоящий из трех членов, который является результатом возведения в квадрат двух равных двучленов. Правило гласит: «Любая сумма возведенных в квадрат биномов равна квадрату первого члена плюс удвоение первого, умноженного на второй член, плюс квадрат второго члена».
Таким образом, порядок факторинга в данном случае это:
- Извлеките квадратный корень из первого и третьего членов
- Разделите корни знаком, соответствующим второму члену
- Возвести в квадрат полученный бином
пример:
4 в2 - 12аб + 9 б2
- Корень квадратный из 4 а2 = 2a
- Корень квадратный из 9 б2 = 3б
Таким образом:
4 в2 - 12аб + 9 б2 = (2-й - 3b)2
Трехчлен вида x2 + bx + c
Первое, что нужно сделать, это убедитесь, что трехчлен соответствует следующим параметрам:
- Коэффициент при первом члене должен быть 1.
- Первый член должен быть буквой в квадрате.
- Второй член имеет ту же букву, что и первый член, но он не возведен в квадрат, то есть его показатель степени равен 1.
- Коэффициент второго члена может быть любой величиной с положительным или отрицательным знаком.
- Третий срок не имеет ничего общего ни с первым, ни со вторым сроком. Другими словами, речь идет о любом количестве, вне всякого отношения к предыдущим.
Пример факторизации многочленов
В следующем примере показан как следует разложить многочлены на множители которые имеют такую структуру:
Разложите на множители трехчлен: x2 + 9х + 14
Для этого нужно провести следующую процедуру:
- Трехчлен должен разложить на два бинома.
- Первый член обоих двучленов должен быть квадратным корнем из первого члена трехчлена, то есть: «x».
- признаки условий устанавливаются так:
- Если второй член и третий член имеют положительный знак, оба бинома будут иметь положительный знак.
- Если второй член отрицательный, а третий член положительный, оба бинома будут иметь отрицательный знак.
- Если второй член положительный, а третий отрицательный, два члена будут иметь разные знаки. Знак плюс будет присвоен номеру с наибольшим абсолютным значением.
- Второй член двучленов Они должны быть двумя числами, которые при сложении дают 9 (коэффициент второго члена трехчлена), а при умножении дают 14 (количество третьего члена).
Таким образом, факторизация трехчлена, взятого в качестве примера: x2 + 9x + 14, это будет выглядеть так:
x2 + 9х + 14 = (х + 7) (х + 2)
Как замечено, каждый член соответствует указанным параметрам:
- «X» - это квадратный корень из первого члена «x»2».
- Поскольку оба члена имеют положительный знак, оба бинома имеют положительный знак.
- Вторые члены биномов складываются друг с другом 9 и при умножении дают произведение 14.
У вас есть вопросы о том, как факторные полиномы?