Polinômios de fator

A fatoração de uma expressão algébrica é o procedimento através do qual, esta expressão é escrita como uma multiplicação. Ao fatorar polinômios, o que se pretende é encontre dois ou mais fatores que tenham a mesma expressão algébrica de um produto.

O objetivo de fatorar polinômios é ser capaz de representar um polinômio como o produto de vários outros polinômios de menor grau.

Os fatores de uma expressão algébrica são os termos ou componentes da mesma. O importante é que, quando multiplicados entre si, dão um resultado igual à primeira expressão. Isso pode ser visto em um exemplo:

Expressão algébrica: x (x + y)

Multiplicando os termos uns com os outros, temos: x² +xy

Assim: x (x + y) = x² +xy

O fator comum

Polinômios de fatoração nem sempre é possível. É necessário que haja pelo menos um fator comum entre eles. A mesma lógica opera aqui como nos números primos, que só são divisíveis por si próprios e pela unidade. Do mesmo modo, existem polinômios que só são divisíveis por si próprios e por 1.

Por exemplo, temos a expressão: xa + yb + zc. Como você pode ver, não há nenhum fator comum entre issos. Nestes casos, o factoring não pode ser realizado.

O fator comum de um polinômio é o maior divisor comum dos termos pelos quais é composto. Este é um exemplo disso:

Na expressão a²x + um²e o fator comum é um²

Para fazer a fatoração, divida os termos por um², Então:

• a²x: Para² = x
• a²y: Para² = e

Desta forma, a fatoração se parece com isto:

a²x + um²y = para²(x + y)

O fator comum ao fatorar polinômios

Ao fatorar polinômios, é o caso de alguns dos termos têm um fator comum, enquanto outros não. Quando isso acontecer, o que deve ser feito é um agrupamento dos termos, entre parênteses.

O agrupamento pode ser feito de várias maneiras. O importante é que os termos agrupados tenham um fator comum. Não importa como o agrupamento seja feito, o resultado será sempre o mesmo. Isto é um exemplo:

xa + ya + xb + yb

Esses termos podem ser agrupados assim:

(xa + ya) + (xb + yb)

Então, eles seriam assim:

a (x + y) + b (x + y)

Extraindo o fator comum e fazendo a fatoração, este seria o resultado:

xa + ya + xb + yb = (x + y) (a + b)

Conforme declarado acima, o agrupamento pode ser feito de várias maneiras. Neste mesmo exemplo, existem outra alternativa para agrupar os termos:

xa + ya + xb + yb

(xa + xb) + (ya + yb)

x (a + b) + y (a + b)

xa + ya + xb + yb = (a + b) (x + y)

Como observado, o resultado final é sempre o mesmo. A lei comutativa é cumprida: a ordem dos fatores não altera o produto.

Polinômios de fatoração por produtos notáveis

Outra maneira de fatorar polinômios é através de produtos notáveis, que são: trinômio quadrado perfeito e trinômio da forma x2 + bx + c. Os outros casos notáveis ​​de produtos em álgebra aplicam-se apenas a binômios.

Trinômio quadrado perfeito

Es um polinômio composto por três termos, que é o resultado da quadratura de dois binômios iguais. A regra diz: "Qualquer soma de binômios ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo."

Portanto, o procedimento para factoring neste caso é:

• Tire a raiz quadrada do primeiro e terceiro termos
• Separe as raízes pelo sinal que corresponde ao segundo termo
• Quadrado o binômio que é formado

Exemplo:

4 um² - 12ab + 9 b²

• Raiz quadrada de 4 a² = 2a
• Raiz quadrada de 9 b² = 3b

Portanto:

4 um² - 12ab + 9 b²  = (2ª - 3b)²

Trinomial da forma x² + b x + c

A primeira coisa a fazer é verifique se o trinômio atende aos seguintes parâmetros:

• O coeficiente do primeiro termo deve ser 1.
• O primeiro termo deve ser uma letra ao quadrado.
• O segundo termo tem a mesma letra do primeiro termo, mas não é quadrado, ou seja, tem expoente 1.
• O coeficiente do segundo termo pode ser qualquer quantidade, com sinal positivo ou negativo.
• O terceiro termo nada tem a ver com o primeiro, nem com o segundo termo. Ou seja, trata-se de qualquer quantidade, sem relação com as anteriores.

Exemplo de fatoração polinomial

O exemplo a seguir mostra o como os polinômios devem ser fatorados que possuem esta estrutura:

Fatore o trinômio: x² +9x +14

Para fazer isso, você precisa realizar o seguinte procedimento:

• O trinômio tem que decompor em dois binômios.
• O primeiro termo de ambos os binômios deve ser a raiz quadrada do primeiro termo do trinômio, ou seja: "x".
• Os sinais dos termos são definidos assim:
• Se o segundo e o terceiro termo tiverem sinal positivo, ambos os binômios terão sinal positivo.
• Se o segundo termo for negativo e o terceiro termo for positivo, ambos os binômios terão um sinal negativo.
• Se o segundo termo for positivo e o terceiro for negativo, os dois termos terão sinais diferentes. O sinal positivo será atribuído ao número com o maior valor absoluto.
• O segundo termo dos binômios Devem ser dois números que, quando somados, dão 9 (o coeficiente do segundo termo do trinômio) e, quando multiplicados, dão 14 (a quantidade do terceiro termo).

Desta forma, a fatoração do trinômio tomado como exemplo: x² + 9x + 14, ficaria assim:

x² + 9x + 14 = (x + 7)(x + 2)

Como observado, cada termo atende aos parâmetros indicados:

• "X" é a raiz quadrada do primeiro termo "x²".
• Como ambos os termos têm sinal positivo, os dois binômios têm sinal positivo.
• Os segundos termos dos binômios somam-se 9 e, quando multiplicados, dão como um produto 14.

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