La fattorizzazione di un'espressione algebrica è la procedura attraverso la quale, questa espressione è scritta come una moltiplicazione. Quando si fattorizzano i polinomi, ciò che si intende è trova due o più fattori che hanno la stessa espressione algebrica di un prodotto.
L'obiettivo di fattorizzare i polinomi è quello di poter rappresentare un polinomio come il prodotto di molti altri polinomi di grado minore.
I i fattori di un'espressione algebrica sono i termini o le componenti della stessa. L'importante è che moltiplicati tra loro danno un risultato uguale alla prima espressione. Questo può essere visto in un esempio:
Espressione algebrica: x (x + y)
Moltiplicando i termini tra loro, abbiamo: x2 +xy
Quindi: x (x + y) = x2 +xy
Il fattore comune
La fattorizzazione dei polinomi non è sempre possibile. È necessario che ci sia almeno un fattore comune tra di loro. La stessa logica funziona qui come nei numeri primi, che sono divisibili solo per se stessi e per l'unità. Nello stesso modo, ci sono polinomi che sono divisibili solo per se stessi e per 1.
Ad esempio, abbiamo l'espressione: xa + yb + zc. Come potete vedere, non c'è un fattore comune tra di essoS. In questi casi il factoring non può essere effettuato.
Il fattore comune di un polinomio è il massimo comune divisore di quei termini da cui è composto. Questo è un esempio di ciò:
Nell'espressione a2x+a2e il fattore comune è a2
Per fare la fattorizzazione, dividi i termini per a2, Così:
- a2x: L'2 =x
- a2y: L'2 = e
In questo modo, la fattorizzazione si presenta così:
a2x+a2y = y2(x + y)
Il fattore comune nella fattorizzazione dei polinomi
Quando si fattorizzano i polinomi è il caso alcuni dei termini hanno un fattore comune, mentre altri no. Quando ciò accade, ciò che deve essere fatto è un raggruppamento dei termini, utilizzando le parentesi.
Il raggruppamento può essere eseguito in vari modi. L'unica cosa importante è che i termini raggruppati abbiano un fattore comune. Non importa come viene eseguito il raggruppamento, il risultato sarà sempre lo stesso. Questo è un esempio:
xa + ya + xb + yb
Questi termini potrebbero essere raggruppati in questo modo:
(xa + ya) + (xb + yb)
Quindi, sarebbero così:
a (x + y) + b (x + y)
Estraendo il fattore comune e facendo il factoring, questo sarebbe il risultato:
xa + ya + xb + yb = (x + y) (a + b)
Come notato sopra, il raggruppamento può essere eseguito in diversi modi. In questo stesso esempio, ci sono un'altra alternativa per raggruppare i termini:
xa + ya + xb + yb
(xa + xb) + (ya + yb)
x (a + b) + y (a + b)
xa + ya + xb + yb = (a + b) (x + y)
Come osservato, il risultato finale è sempre lo stesso. La legge commutativa è soddisfatta: l'ordine dei fattori non altera il prodotto.
Fattorizzazione di polinomi da prodotti notevoli
Un altro modo per fattorizzare i polinomi è attraverso prodotti straordinari, che sono: trinomio quadrato perfetto e trinomio della forma x2 + bx + c. Gli altri casi di prodotto notevoli in algebra si applicano solo ai binomi.
Trinomio quadrato perfetto
Es un polinomio composto da tre termini, che è il risultato della quadratura di due binomi uguali. La regola dice: "Qualsiasi somma di binomi al quadrato è uguale al quadrato del primo termine, più due volte le prime volte il secondo termine, più il quadrato del secondo termine".
Pertanto, la procedura per il factoring in questo caso è:
- Prendi la radice quadrata del primo e del terzo termine
- Separare le radici dal segno che corrisponde al secondo termine
- Piazza il binomio che si forma
Esempio:
4 l'2 - 12ab + 9 b2
- Radice quadrata di 4 a2 = 2a
- Radice quadrata di 9 b2 = 3b
pertanto:
4 l'2 - 12ab + 9 b2 = (2 ° - 3b)2
Trinomiale della forma x2 + bx + c
La prima cosa da fare è verificare che il trinomio soddisfi i seguenti parametri:
- Il coefficiente del primo termine deve essere 1.
- Il primo termine deve essere una lettera quadrata.
- Il secondo termine ha la stessa lettera del primo termine, ma non è quadrato, cioè ha un esponente di 1.
- Il coefficiente del secondo termine può essere qualsiasi quantità, con segno positivo o negativo.
- Il terzo termine non ha nulla a che fare con il primo, né con il secondo termine. In altre parole, si tratta di una qualsiasi quantità, senza alcuna relazione con le precedenti.
Esempio di factoring polinomiale
L'esempio seguente mostra il file come dovrebbero essere fattorizzati i polinomi che hanno questa struttura:
Fattorizzare il trinomio: x2 +9x +14
Per fare ciò, è necessario eseguire la seguente procedura:
- Il trinomio deve si decompongono in due binomi.
- Il primo termine di entrambi i binomi deve essere la radice quadrata del primo termine del trinomio, ovvero: "x".
- I segni dei termini sono impostati in questo modo:
- Se il secondo termine e il terzo hanno segno positivo, entrambi i binomi avranno segno positivo.
- Se il secondo termine è negativo e il terzo è positivo, entrambi i binomi avranno segno negativo.
- Se il secondo termine è positivo e il terzo è negativo, i due termini avranno segni diversi. Il segno positivo verrà assegnato al numero con il valore assoluto più alto.
- Il secondo termine dei binomi Devono essere due numeri che sommati danno 9 (il coefficiente del secondo termine del trinomio) e moltiplicati danno 14 (l'ammontare del terzo termine).
In questo modo, la fattorizzazione del trinomio presa come esempio: x2 + 9x + 14, sarebbe simile a questo:
x2 + 9x + 14 = (x + 7)(x + 2)
Come osservato, ogni termine soddisfa i parametri indicati:
- "X" è la radice quadrata del primo termine "x2".
- Poiché entrambi i termini hanno un segno positivo, i due binomi hanno un segno positivo.
- I secondi termini dei binomi si sommano tra loro 9 e moltiplicati danno come prodotto 14.
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