Faktor polinomok

Az algebrai kifejezés faktorozása az az eljárás, amelyen keresztül ezt a kifejezést szorzóként írják. A polinomok faktorálásakor a cél az találjon két vagy több olyan tényezőt, amelyeknek algebrai kifejezése megegyezik a termékével.

A polinomok faktorálásának célja az, hogy képes legyen egy polinomot ábrázolni számos más kisebb fokú polinom szorzata.

sok az algebrai kifejezés tényezői a kifejezései vagy annak alkotóelemei. A fontos az, hogy egymással szorozva olyan eredményt kapjanak, amely megegyezik az első kifejezéssel. Ez látható egy példán:

Algebrai kifejezés: x (x + y)

A kifejezések egymással való szorzásával megkapjuk: x² +xy

Így: x (x + y) = x² +xy

A közös tényező

A polinomok faktorozása nem mindig lehetséges. Szükséges, hogy legalább egy közös tényező legyen közöttük. Ugyanaz a logika működik itt, mint a prímszámokban, amelyek csak önmagukban és egységben oszthatók meg. Ugyanúgy, vannak olyan polinomok, amelyek csak önmagukkal és 1-gyel oszthatók meg.

Például megvan a következő kifejezés: xa + yb + zc. Amint látod, nincs köztük közös tényezős. Ezekben az esetekben a faktoring nem hajtható végre.

A polinom közös tényezője a azon kifejezések legnagyobb közös osztója, amelyek alapján összeáll. Ez egy példa erre:

Az a kifejezésben²x + a²a közös tényező pedig a²

A faktorizáláshoz ossza el a feltételeket a-val², Így:

• a²x: Egy² =x
• a²y: Egy² = és

Ily módon a faktorálás így néz ki:

a²x + a²y = to²(x + y)

A polinomok faktorálásakor a közös tényező

A polinomok faktorálásakor az a helyzet a kifejezések némelyikének közös tényezője van, míg másoknak nincs. Amikor ez megtörténik, meg kell tenni a kifejezések csoportosítását zárójelek segítségével.

A csoportosítás többféle módon történhet. Az egyetlen fontos dolog, hogy a csoportosított kifejezéseknek közös tényezője legyen. Nem számít, hogyan történik a csoportosítás, az eredmény mindig ugyanaz lesz. Ez egy példa:

xa + ya + xb + yb

Ezek a kifejezések így csoportosíthatók:

(xa + ya) + (xb + yb)

Akkor ilyenek lennének:

a (x + y) + b (x + y)

A közös tényező kinyerésével és a faktoring elvégzésével ez az eredmény lenne:

xa + ya + xb + yb = (x + y) (a + b)

Mint fentebb említettük, a csoportosítás számos módon elvégezhető. Ugyanebben a példában vannak egy másik alternatíva a kifejezések csoportosítására:

xa + ya + xb + yb

(xa + xb) + (ya + yb)

x (a + b) + y (a + b)

xa + ya + xb + yb = (a + b) (x + y)

Amint megfigyeltük, a végeredmény mindig ugyanaz. A kommutatív törvény teljesül: a tényezők sorrendje nem változtatja meg a terméket.

Faktor polinomok figyelemre méltó termékek szerint

A polinomok faktorozásának másik módja az figyelemre méltó termékek révén, amelyek: tökéletes négyzet alakú trinomiális és trinomiális formája x2 + bx + c. Az algebra többi figyelemre méltó termékesete csak binomálisokra vonatkozik.

Tökéletes négyzetes háromszög

Es három kifejezésből álló polinom, amely két egyenlő binomiális négyzet felépítésének eredménye. A szabály kimondja: "A binomiálisok négyzetre vetített összege megegyezik az első tag négyzetével, plusz az első tag kétszerese a második tag szorzatával, plusz a második tag négyzetével."

Ezért, a faktoring eljárása ebben az esetben:

• Vegyük az első és a harmadik tag négyzetgyökét
• Válassza szét a gyökereket a második kifejezésnek megfelelő jellel
• Szögezze be a kialakult binomiált

Példa:

4 a² - 12ab + 9 b²

• A négyzet négyzetgyöke a² = 2a
• A 9 b négyzetgyöke² = 3b

Így:

4 a² - 12ab + 9 b²  = (2. - 3b)²

Az x forma háromszöge² + b x + c

Az első tennivaló ellenőrizze, hogy a trinomális megfelel-e a következő paramétereknek:

• Az első tag együtthatójának 1-nek kell lennie.
• Az első kifejezésnek négyzet alakú betűnek kell lennie.
• A második tag ugyanolyan betűvel rendelkezik, mint az első kifejezés, de nem négyzet alakú, vagyis 1-es kitevője van.
• A második tag együtthatója bármilyen mennyiség lehet, pozitív vagy negatív előjellel.
• A harmadik kifejezésnek semmi köze az elsőhöz, a másodikhoz sem. Más szavakkal, bármilyen mennyiségről van szó, az előzőekhez való viszony nélkül.

Polinomiális faktoring példa

A következő példa a hogyan kell figyelembe venni a polinomokat amelyeknek ez a felépítése:

Háromszoros tényező: x² +9x +14

Ehhez a következő eljárást kell végrehajtania:

• A trinomálisnak meg kell két binomiálra bomlik.
• Mindkét binomiális kifejezésnek a trinomiális első tagjának négyzetgyökének kell lennie, azaz: "x".
• sok a kifejezések jelei a következőképpen vannak beállítva:
• Ha a második kifejezésnek és a harmadiknak pozitív előjele van, akkor mindkét binomiális jel pozitív jellel bír.
• Ha a második tag negatív, a harmadik pedig pozitív, akkor mindkét binomiális negatív előjellel rendelkezik.
• Ha a második kifejezés pozitív, a harmadik pedig negatív, akkor a két kifejezésnek különböző jelei lesznek. A pozitív előjelet a legmagasabb abszolút értékű számhoz rendeljük.
• A binomiálisok második kifejezése Két olyan számnak kell lenniük, amelyek összeadásakor 9-et adnak (a trinomium második tagjának együtthatója), és szorozva 14-et (a harmadik tag összege).

Ilyen módon a trinomiális faktorizálása példaként: x² + 9x + 14, így néz ki:

x² + 9x + 14 = (x + 7) (x + 2)

Amint megfigyelték, minden kifejezés megfelel a megadott paramétereknek:

• "X" az "x" első tag négyzetgyöke²".
• Mivel mindkét kifejezés pozitív előjelű, a két binomiális jel pozitív.
• A binomiálok második tagjai egymáshoz adnak 9, és szorozva 14-es szorzatként adják meg.

Van kérdése arról, hogyan faktor polinomok?