Las constantes universales y las matemáticas forman una pareja extraña: por un lado, tenemos números físicos que parecen escritos en la propia trama del cosmos; por otro, un edificio abstracto de teoremas y demostraciones que no necesita un átomo de materia para existir. Cuando nos preguntamos por qué la velocidad de la luz, la constante de Planck o la gravedad valen exactamente lo que valen, inevitablemente acabamos tropezando con preguntas sobre el papel de las matemáticas en la realidad.
En el fondo late una duda profunda: si cambiáramos las constantes fundamentales del universo, ¿seguirían siendo válidas las mismas matemáticas?, ¿o podrían aparecer lógicas y estructuras matemáticas tan diferentes como lo sería la física de ese otro universo? Entender qué son las constantes físicas, cómo se relacionan con nuestras unidades de medida, qué parte de ellas es arbitraria y cuál es realmente «natural» nos lleva a un viaje por la historia de la ciencia, la filosofía y la cosmología moderna.
Qué es realmente una constante universal
Cuando los físicos hablan de una constante física, se refieren al valor de una magnitud que, dentro de los procesos físicos que conocemos, no cambia con el tiempo ni con el lugar. La velocidad de la luz en el vacío, la constante de gravitación o la carga elemental del electrón son ejemplos típicos: midas donde midas, en la Tierra o en una galaxia lejana, obtienes el mismo número (dentro de la precisión experimental).
Ese valor, sin embargo, se expresa en unidades humanas arbitrarias: metros, segundos, kilogramos, culombios… Hoy usamos el Sistema Internacional de Unidades (SI), formalizado en 1960 y refinado después, pero a lo largo de la historia hemos descrito las mismas magnitudes con sistemas muy distintos. De ahí que convenga separar dos ideas: por un lado, los números que dependen de nuestras unidades (como 299 792 458 m/s); por otro, los números puros, adimensionales, que no cambian aunque cambiemos el sistema de unidades.
Esta distinción enlaza con una idea famosa atribuida a Einstein en una carta a Ilse Rosenthal-Schneider: hay constantes aparentes y constantes reales. Las aparentes surgen de la elección de unidades y se pueden «eliminar» con una redefinición adecuada; las reales serían los números que «Dios tuvo que elegir» al crear el universo, auténticos parámetros fundamentales que determinan cómo es todo lo que existe.
Las denominadas constantes fundamentales están ligadas a fenómenos físicos esenciales y, hasta donde sabemos, no se pueden calcular a partir de otras constantes. Podemos medirlas cada vez con mayor precisión, pero no deducir su valor desde principios más profundos. Ese carácter enigmático alimenta un debate que va más allá de la física: ¿son producto de leyes más profundas que aún desconocemos, o son simple resultado de «tirar los dados» en el Big Bang?
Unidades, consenso y el papel de las constantes
Antes de hablar en serio de constantes universales hay que entender que nuestras unidades de medida son, en gran parte, una convención. El caso de la sonda Mars Climate Orbiter, perdida por una confusión entre unidades métricas e imperiales, es un ejemplo dramático de lo caro que puede salir no tener claro este punto.
A partir de un largo proceso histórico, se consolidó el Sistema Internacional de Unidades con siete unidades básicas: metro, kilogramo, segundo, amperio, kelvin, mol y candela. A partir de ellas se definen decenas de unidades derivadas (newton, julio, pascal, etc.) que usamos a diario. Curiosamente, muchas de esas unidades se han ido redefiniendo precisamente fijando el valor de ciertas constantes universales.
Hoy en día, la velocidad de la luz en el vacío c se toma como valor exacto: 299 792 458 m/s. Eso no significa que la luz «tenga» que viajar a esa velocidad, sino que hemos fijado su valor y definimos el metro de forma coherente con él. Algo similar ocurre con la constante de Planck, el número de Avogadro o la frecuencia de la transición hiperfina del cesio-133, que se usa para definir el segundo.
Para organizar el «zoo» de constantes, desde 1966 existe la CODATA (Comisión de Datos para la Ciencia y la Tecnología), que recopila y recomienda valores numéricos para cientos de constantes físicas. En una de sus compilaciones recientes aparecen alrededor de 230 constantes, pero solo una minoría tiene un peso conceptual realmente profundo: c, G, h, la constante de estructura fina, las masas de partículas elementales, etc.
Algunos ejemplos clave de constantes fundamentales
Entre todas las constantes, hay un pequeño grupo que actúa como columnas vertebrales del edificio físico. Sus valores entran en las teorías más básicas y condicionan desde la estructura de los átomos hasta la evolución del universo.
La velocidad de la luz en el vacío, c, es aproximadamente 3·108 m/s. El experimento de Michelson y Morley permitió comprobar que esa velocidad es independiente del movimiento de la fuente emisora, descartando la hipótesis del «éter» como medio de propagación. A partir de ahí, las transformaciones de Lorentz y la relatividad especial de Einstein tomaron c como límite insuperable para la transmisión de información.
La constante de gravitación universal, G, aparece en la ley de la gravitación de Newton y en las ecuaciones de Einstein. Se trata quizá de la constante peor medida de todas: solo tenemos bien fijadas unas pocas cifras significativas. Aun así, sabemos que la gravedad es una fuerza extremadamente débil comparada con las otras interacciones; si no fuera porque siempre es atractiva y actúa a grandes escalas, apenas la notaríamos.
La constante de Planck, h, marca la escala cuántica: fija el tamaño mínimo de los «cuantos de acción» y entra en la famosa relación E = hν entre energía y frecuencia. Su valor ha pasado a ser tan fundamental que hoy forma parte de la propia definición del kilogramo.
Otras constantes básicas son la carga elemental e, la constante de Boltzmann k, el número de Avogadro NA o la eficacia luminosa Kcd para una radiación monocromática de 540·1012 Hz. Además de su relevancia en física fundamental, todas ellas tienen manifestaciones muy concretas en química, biología, ecología y tecnología: determinan cómo se organizan las moléculas, cómo intercambian energía los sistemas vivos o cómo calibramos sensores y dispositivos.
Constantes aparentes, constantes reales y números puros
No todas las constantes son igual de profundas. Algunas, como la constante de Boltzmann, pueden interpretarse básicamente como factores de conversión entre unidades de energía y temperatura. Su valor numérico depende de nuestro sistema de unidades; si lo cambiamos, el número cambia. Estas son las «constantes aparentes» a las que se refería Einstein.
Las verdaderas constantes universales deberían ser, en la visión más estricta, números adimensionales, puros, que no se alteran al cambiar unidades. Un ejemplo canónico es la constante de estructura fina α, que mide la intensidad de la interacción electromagnética. Su valor aproximado es 1/137 y, más precisamente, CODATA recomienda 137.035999084. Ese número no depende de metros ni segundos: es el mismo para cualquier civilización que use cualquier sistema de unidades razonable.
α combina tres constantes dimensionales: la constante de Planck, la carga elemental y la velocidad de la luz. En cierto sentido, condensa en un solo número la mecánica cuántica (h), el electromagnetismo (e) y la relatividad especial (c). De ahí que físicos como Feynman la calificaran de «número mágico que llega a nosotros sin ser comprendido», o Dirac la describiera como «el problema no resuelto más profundo de la física».
Otra forma de «naturalizar» las constantes es usar las unidades de Planck, construidas a partir de c, G y h (junto con la constante de Boltzmann si introducimos temperatura). La longitud de Planck, el tiempo de Planck o la masa de Planck fijan las escalas donde se espera que la gravedad cuántica se vuelva relevante. A esa escala, nuestras teorías actuales dejan de ser válidas y sospechamos que debe entrar en juego una descripción más completa del espacio-tiempo.
Desde este punto de vista, podemos ver muchas constantes que usamos a diario como parámetros derivados de un puñado de valores verdaderamente básicos. La permitividad del vacío, el radio de Bohr o la constante de Faraday serían manifestaciones diferentes de la misma física subyacente, recodificada en combinaciones de constantes esenciales.
¿Son realmente inmutables las constantes?
Una parte fascinante de la historia de la física del siglo XX gira en torno a la posible variación de las constantes en el espacio o en el tiempo cósmico. No es solo un juego de números: si alguna de ellas cambiara mínimamente, la química y la vida tal como la conocemos podrían ser imposibles.
Arthur Eddington, famoso entre otras cosas por confirmar experimentalmente la relatividad general durante el eclipse de 1919, estaba obsesionado con la idea de deducir el valor de las constantes desde principios puramente matemáticos. Intentó construir demostraciones numéricas rebuscadas que, jugando con relaciones entre números, «explicaban» por qué ciertas constantes tomaban los valores observados.
Durante un tiempo, colegas como el propio Einstein miraron estos intentos con curiosidad, pero pronto quedó claro que Eddington forzaba las matemáticas para obtener los resultados deseados. Sus construcciones recordaban más a numerología que a física. Aun así, sembró una inquietud que otros recogieron: la sospecha de que detrás de los valores de las constantes podría haber estructuras matemáticas todavía desconocidas.
Paul Dirac fue uno de los que tomaron el relevo, aunque con un enfoque distinto. Se fijó en que varias combinaciones de constantes fundamentales daban lugar a números enormes, aparentemente relacionados entre sí, los llamados «grandes números coincidentes». Eso le llevó a conjeturar que quizá no todo era pura casualidad y que podía existir una relación matemática simple detrás de esas coincidencias.
En 1937, Dirac publicó un artículo en Nature donde proponía que la constante de gravitación G podría haber variado a lo largo del tiempo cósmico. Si eso fuera cierto, algunas constantes que tratamos como universales serían, en realidad, parámetros lentamente cambiantes. Esta línea de pensamiento entronca con ideas modernas que contemplan la posibilidad de que ciertas constantes efectivamente dependan de la historia del universo o de campos de fondo aún no identificados.
Observacionalmente, se han buscado indicios de variaciones en constantes como la constante de estructura fina analizando espectros de galaxias lejanas. Algún estudio ha sugerido la existencia de una «dirección preferente» en el universo donde α podría tomar valores ligeramente distintos, lo que chocaría frontalmente con el principio de equivalencia y la relatividad general. Sin embargo, la mayoría de la comunidad científica considera que la evidencia actual no es concluyente y que esos resultados podrían deberse a errores sistemáticos o interpretaciones apresuradas.
Constantes, vida y principio antrópico
Hay un aspecto especialmente delicado: la sensibilidad de la vida a los valores de las constantes. Un pequeño cambio en la masa del protón, en la carga del electrón o en la intensidad de la fuerza electromagnética podría impedir la formación de átomos estables, de moléculas complejas o de procesos nucleares en las estrellas como los que fabrican carbono.
Se ha calculado, por ejemplo, que si la constante de estructura fina α variara solo unas pocas partes por diez millones, la química tal como la conocemos cambiaría drásticamente. Con un incremento de apenas un 4 % se estima que ciertas reacciones nucleares en las estrellas dejarían de producir carbono eficientemente, con lo que nuestra bioquímica basada en ese elemento colapsaría.
Esta aparente «sintonía fina» lleva a algunos a apelar al principio antrópico: el hecho de que podamos observar el universo ya implica que sus constantes deben estar en el rango adecuado para permitir observadores. En versiones más fuertes, se habla de un posible «multiverso» donde distintos universos tendrían diferentes valores de las constantes, y nosotros simplemente habitamos aquel (o aquellos) donde la vida es viable.
Otros científicos son más cautos y prefieren ver la sintonía fina como un problema abierto: quizá una teoría más profunda, aún por descubrir, fije de forma necesaria los valores de esas constantes, sin necesidad de recurrir a múltiples universos ni a argumentos antrópicos. De momento, no tenemos esa teoría, así que la cuestión sigue completamente en el aire.
En cualquier caso, nuestra experiencia actual indica que las constantes fundamentales no parecen variar dentro de las incertidumbres de medida alcanzadas, ni en nuestro entorno ni en el cosmos observable. Si existen variaciones, deben ser extremadamente pequeñas y difíciles de detectar con la tecnología presente.
El cubo de las teorías y la frontera de las unidades de Planck
Un enfoque muy ilustrativo para entender el papel de las constantes c, G y h es el llamado cubo de las teorías, introducido por Bronstein, Gamow, Ivanenko y Landau. Imagina un cubo tridimensional donde cada eje corresponde a «encender» o «apagar» una de estas constantes fundamentales en el sentido de considerar sus efectos relevantes o despreciables.
Si ignoramos simultáneamente la gravedad (G), la relatividad (c) y la cuántica (h), nos quedamos en el rincón de la mecánica clásica newtoniana. Si solo encendemos c, entramos en la relatividad especial; si prendemos G sin c ni h, tenemos la gravitación newtoniana; si encendemos h sin G ni c, nos movemos en la mecánica cuántica no relativista; y así sucesivamente hasta llegar al rincón más «completo», donde las tres constantes juegan un papel esencial y deberíamos tener una teoría de gravedad cuántica totalmente relativista.
Las unidades de Planck marcan precisamente la esquina donde se cruzan estos tres ejes: longitudes del orden de 10-33 cm, tiempos de 10-43 s y temperaturas cercanas a 1032 K. Se piensa que el universo, en sus primeras fracciones ínfimas de segundo tras el Big Bang, alcanzó esas condiciones extremas. Más allá de ese punto, nuestras teorías actuales -relatividad general y teoría cuántica de campos- dejan de ser fiables por separado.
De ahí que tantos esfuerzos actuales vayan dirigidos a formular una teoría de gravedad cuántica, ya sea mediante cuerdas, bucles o enfoques de relatividad especial «doble» o deformada. Todas esas propuestas intentan extender la relatividad general dentro de una estructura de espacio-tiempo cuantizado o discreto, en la que las constantes c, G y h estarían unificadas en un nuevo marco conceptual.
Mientras tanto, vivimos en un universo donde la relatividad general describe con gran precisión el comportamiento a gran escala -galaxias, cúmulos, expansión cósmica- y la teoría cuántica de campos hace lo propio en el reino microscópico de las partículas subatómicas. Las constantes universales hacen de puente entre ambos extremos, fijando escalas de masa, longitud y energía que dan coherencia al conjunto.
Matemáticas y constantes: ¿son las matemáticas universales?
Todo lo anterior nos lleva de vuelta a la pregunta inicial: si modificáramos los valores de las constantes fundamentales, ¿seguirían siendo las mismas las matemáticas? Para responder, conviene distinguir entre dos planos: el de las estructuras matemáticas abstractas y el de los modelos físicos concretos que construimos con ellas.
Verdades básicas como 1 + 1 = 2 o propiedades elementales de la aritmética (conmutatividad, asociatividad, etc.) se derivan de axiomas lógicos muy generales. Esos axiomas no hacen referencia a protones, electrones ni constantes físicas. Desde este punto de vista, muchas partes de las matemáticas parecen independientes de la realidad física: podríamos imaginar un universo con otras constantes, o incluso sin materia, y las demostraciones seguirían siendo válidas dentro de su sistema axiomático.
Otra cosa es qué estructuras matemáticas serían relevantes o «naturales» en un universo con otra física. En el nuestro, la geometría euclídea es una aproximación útil a escalas pequeñas, mientras que la geometría riemanniana curva es fundamental para describir la gravedad. La teoría de grupos de simetría resulta crucial en el modelo estándar de partículas. Si las leyes físicas fueran otras, quizá la geometría dominante sería distinta, o se utilizarían otros tipos de lógica para describir fenómenos exóticos.
En filosofía de la matemática, este debate se resume a menudo en contraposiciones como platonismo frente a formalismo. El platonismo sostiene que las entidades matemáticas existen independientemente de nosotros y de cualquier universo físico; nosotros simplemente las descubrimos. Desde esta perspectiva, las matemáticas sí serían «universales» en un sentido fuerte: cualquier inteligencia en cualquier cosmos que siguiera un razonamiento consistente llegaría a teoremas equivalentes.
El formalismo y posiciones afines ven las matemáticas más como sistemas de reglas que construimos para organizar símbolos. En ese caso, las partes de las matemáticas que usamos con más intensidad estarían fuertemente condicionadas por la estructura del universo en el que vivimos. Otras inteligencias en otros universos podrían desarrollar matemáticas muy diferentes porque su realidad física les «pediría» otras herramientas conceptuales.
Sea cual sea la postura que adoptemos, la experiencia de la física moderna sugiere algo inquietante: las matemáticas encajan sorprendentemente bien con la estructura del mundo. Un puñado de constantes, incrustadas en ecuaciones relativamente compactas, permiten describir un rango enorme de fenómenos, desde la órbita de una estrella a la emisión de un átomo. Esa «irrazonable efectividad» de las matemáticas, como la llamó Wigner, es uno de los mayores misterios filosóficos de la ciencia.
Constantes, mente humana y conocimiento
Autores como Max Planck subrayaban que las constantes universales son números que «no han sido inventados por los hombres», sino descubiertos en la naturaleza, y que cualquier inteligencia en cualquier rincón del cosmos debería encontrarlos iguales, independientemente de los métodos o aparatos empleados. Para Planck, esta invariancia era una prueba de que existe una realidad física objetiva, separada de nuestras mentes.
Al mismo tiempo, el hecho de que dependamos de constantes como c, G o h para definir nuestros patrones de medida muestra hasta qué punto nuestro conocimiento está entrelazado con lo que ignoramos. Como resumía Jesús Navarro en su libro sobre constantes universales, estos números reflejan a la vez lo que entendemos del universo y aquello que aún no podemos explicar: conocemos sus valores con gran precisión, pero no sabemos de dónde «salen».
En la práctica, estas constantes marcan los límites de nuestras teorías actuales. Sabemos que la relatividad general funciona muy bien en un rango enorme de escalas, pero se rompe conceptualmente cuando nos acercamos a tiempos menores que el tiempo de Planck o a longitudes inferiores a la longitud de Planck. Sabemos que la mecánica cuántica describe con éxito el mundo microscópico, pero no está claro cómo acoplarla de forma elegante con la gravedad a escalas extremas.
Entre tanto, el universo visible sigue evolucionando bajo la guía silenciosa de esas magnitudes aparentemente inamovibles. Le dan ritmo al cosmos, permiten la estabilidad de átomos y moléculas, hacen posible que exista información, química y, en última instancia, seres capaces de hacerse preguntas sobre todo esto.
Si algún día logramos una teoría que derive de forma natural los valores de las constantes, quizá descubramos también por qué ciertas estructuras matemáticas -y no otras- son las que describen nuestro mundo con tanta precisión. Hasta entonces, las constantes universales seguirán siendo un punto de encuentro entre nuestra física mejor establecida y nuestras dudas más profundas sobre la naturaleza de la realidad y de las propias matemáticas.