因数分解

共通因子による因数分解多項式

代数的表現の因数分解は、 この式は乗算として書かれています。 多項式を因数分解する場合、意図されているのは 製品と同じ代数的表現を持つXNUMXつ以上の要因を見つける.

多項式の因数分解の目的は、多項式を次のように表すことができるようにすることです。 程度の低い他のいくつかの多項式の積。

たくさん 代数的表現の要因は、同じの用語またはコンポーネントです。 重要なことは、互いに乗算すると、最初の式と等しい結果が得られるということです。 これは例で見ることができます:

代数的表現:x(x + y)

項を互いに乗算することにより、次のようになります。x2 + xy

したがって:x(x + y)= x2 + xy

共通の要因

多項式の因数分解は常に可能であるとは限りません。 それらの間に少なくともXNUMXつの共通の要因があることが必要です。 ここでは、プライムナンバーと同じロジックが機能します。プライムナンバーは、それ自体と単一性によってのみ分割可能です。 同じやり方で、 それ自体と1でしか割り切れない多項式があります。

たとえば、次の式があります:xa + yb + zc。 ご覧のように、 間に共通の要因はありませんs。 これらの場合、因数分解は実行できません。

多項式の一般的な要因は それが構成されている用語の最大の一般的な除算器。 これはその一例です:

式では2x + a2共通の要因は2

因数分解を行うには、項をaで除算します。2、 そう:

  • a2x 2 = x
  • a2y 2 =および

このように、因数分解は次のようになります。

a2x + a2y =から2(x + y)

多項式を因数分解するときの共通の要因

多項式を因数分解する場合、 一部の用語には共通の要素がありますが、そうでない用語もあります。 これが発生した場合、実行する必要があるのは、括弧を使用して用語をグループ化することです。

グループ化はさまざまな方法で実行できます。 唯一重要なことは、グループ化された用語には共通の要素があるということです。 グループ化がどのように行われたとしても、結果は常に同じになります。 これは例です:

xa + ya + xb + yb

これらの用語は、次のようにグループ化できます。

(xa + ya)+(xb + yb)

次に、それらは次のようになります。

a(x + y)+ b(x + y)

共通因子を抽出して因数分解を行うと、次のような結果になります。

xa + ya + xb + yb =(x + y)(a + b)

上記のように、グループ化はいくつかの方法で実行できます。 この同じ例では、 用語をグループ化する別の方法:

xa + ya + xb + yb

(xa + xb)+(ya + yb)

x(a + b)+ y(a + b)

xa + ya + xb + yb =(a + b)(x + y)

観察されたように、 最終結果は常に同じです。 可換法が満たされます:要因の順序は製品を変更しません。

注目すべき製品による多項式の因数分解

多項式を因数分解する別の方法は 注目すべき製品を通じて、これは次のとおりです。完全な二乗三項およびx2 + bx + cの形式の三項。 代数の他の注目すべき製品ケースは、二項にのみ適用されます。

完全な二乗三項

Es XNUMXつの項で構成される多項式、これはXNUMXつの等しい二項を二乗した結果です。 ルールは次のように述べています。「二項の二乗の合計は、第XNUMX項の二乗に、第XNUMX項の第XNUMX倍のXNUMX倍、第XNUMX項の二乗を加えたものに等しくなります。」

そのため、 因数分解の手順 この場合は次のとおりです。

  • 第XNUMX項と第XNUMX項の平方根を取る
  • 第XNUMX項に対応する記号で根を区切る
  • 形成される二項を二乗する

例:

42 -12ab + 9 b2

  • 4aの平方根2 = 2a
  • 9bの平方根2 = 3b

したがって:

42 -12ab + 9 b2  =(2番目-3b)2

x形式の三項2 + b x + c

最初にすることは 三項が次のパラメータを満たしていることを確認します。

  • 第1項の係数はXNUMXでなければなりません。
  • 最初の用語は、XNUMX乗された文字である必要があります。
  • 1番目の項は最初の項と同じ文字ですが、XNUMX乗されていません。つまり、指数はXNUMXです。
  • 第XNUMX項の係数は、正または負の符号を持つ任意の量にすることができます。
  • 第XNUMX項は、第XNUMX項とも第XNUMX項とも関係ありません。 言い換えれば、それは前のものとは何の関係もなく、どんな量の問題でもあります。

多項式因数分解の例

因数分解多項式の例

次の例は、 多項式をどのように因数分解するか この構造を持っている:

三項を因数分解します:x2 + 9x +14

これを行うには、次の手順を実行する必要があります。

  • 三位一体はしなければならない XNUMXつの二項に分解する.
  • 両方の二項の最初の項は、三項の最初の項の平方根、つまり「x」でなければなりません。
  • たくさん 用語の兆候 このように設定されています:
  • XNUMX番目の項とXNUMX番目の項に正の符号がある場合、両方の二項項に正の符号があります。
  • 第XNUMX項が負で、第XNUMX項が正の場合、両方の二項は負の符号を持ちます。
  • XNUMX番目の項が正で、XNUMX番目の項が負の場合、XNUMXつの項の符号は異なります。 絶対値が最も高い番号に正符号が割り当てられます。
  • 二項の第XNUMX項 それらは、加算すると9(三項の第14項の係数)を与え、乗算するとXNUMX(第XNUMX項の量)を与えるXNUMXつの数値でなければなりません。

このように、例として取り上げた三項の因数分解:x2 + 9x + 14、次のようになります。

x2 + 9x + 14 =(x + 7)(x + 2)

観察されたように、各用語は指定されたパラメータを満たしています:

  • 「X」は、最初の項「x」の平方根です。2"。
  • 両方の項が正の符号を持っているので、XNUMXつの二項は正の符号を持っています。
  • 二項の第9項は互いに加算され14、乗算されると積XNUMXとして得られます。

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