Factorizar polinomios

Factorizar polinomios con factor común

La factorización de una expresión algebraica es el procedimiento a través del cual, dicha expresión se escribe como una multiplicación. Al factorizar polinomios lo que se pretende es encontrar dos o más factores que tengan como producto la misma expresión algebraica.

El objetivo que se persigue al factorizar polinomios es poder representar un polinomio como el producto de varios otros polinomios de menor grado.

Los factores de una expresión algebraica son los términos o componentes de la misma. Lo importante es que al ser multiplicados entre sí arrojen un resultado que sea igual a la primera expresión. Esto se puede observar en un ejemplo:

Expresión algebraica: x(x+y)

Al multiplicar los términos entre sí, tenemos: x2 + xy

De este modo: x(x+y) = x2 + xy

El factor común

Factorizar polinomios no siempre es posible. Se requiere que haya al menos un factor común entre ellos. Aquí opera la misma lógica que en los números primos, los cuales solo son divisibles por sí mismos y por la unidad. Del mismo modo, hay polinomios que solo son divisibles por sí mismos y por 1.

Por ejemplo, tenemos la expresión: xa + yb + zc. Como se puede observar, no hay ningún factor común entre ellos. En estos casos no se puede llevar a cabo la factorización.

El factor común de un polinomio es el máximo común divisor de aquellos términos por los que está compuesto. Este es un ejemplo de ello:

En la expresión a2x + a2y el factor común es a2

Para hacer la factorización se dividen los términos por a2, así:

  • a2x: a2 = x
  • a2y: a2 = y

De este modo, la factorización queda así:

a2x + a2y = a2(x+y)

El factor común al factorizar polinomios

Al factorizar polinomios se da el caso de que algunos de los términos tienen un factor común, mientras que otros no. Cuando esto ocurre, lo que se debe hacer es una agrupación de los términos, mediante paréntesis.

La agrupación puede efectuarse de diversas maneras. Lo único importante es que los términos agrupados tengan un factor común. No importa cómo se realice la agrupación, el resultado será siempre el mismo. Este es un ejemplo:

xa + ya + xb + yb

Estos términos podrían agruparse así:

(xa + ya) + (xb + yb)

Luego, quedarían de este modo:

a(x+y) + b(x+y)

Al extraer el factor común y hacer la factorización, este sería el resultado:

xa + ya + xb + yb = (x+y) (a+b)

Como se indicó anteriormente, la agrupación se puede hacer de diversas maneras. En este mismo ejemplo, hay otra alternativa para agrupar los términos:

xa + ya + xb + yb

(xa + xb) + (ya + yb)

x(a+b) + y(a+b)

xa + ya + xb + yb = (a+b) (x+y)

Como se observa, el resultado final siempre es el mismo. Se cumple la ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.

Factorizar polinomios mediante productos notables

Otra manera de factorizar polinomios es a través de los productos notables, los cuales son: trinomio cuadrado perfecto y trinomio de la forma x2 + bx + c. Los demás casos de productos notables que contempla el álgebra se aplican solo a binomios.

Trinomio cuadrado perfecto

Es un polinomio compuesto por tres términos, el cual es resultado de elevar al cuadrado dos binomios iguales. La regla dice: “Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo término”.

Por lo tanto, el procedimiento para factorizar en este caso es:

  • Extraer la raíz cuadrada al primer y tercer términos
  • Separar las raíces por el signo que corresponda al segundo término
  • Elevar al cuadrado el binomio que se forme

Ejemplo:

4 a2 – 12ab + 9 b2

  • Raíz cuadrada de 4 a2 = 2a
  • Raíz cuadrada de 9 b2 = 3b

Por lo tanto:

4 a2 – 12ab + 9 b2  = (2ª – 3b)2

Trinomio de la forma x2 + bx + c

Lo primero que se debe hacer es verificar que el trinomio cumpla con los siguientes parámetros:

  • El coeficiente del primer término debe ser 1.
  • El primer término tiene que ser una letra que está elevada al cuadrado.
  • El segundo término tiene la misma letra del primer término, pero no está elevada al cuadrado, es decir, tiene exponente 1.
  • El coeficiente del segundo término puede ser cualquier cantidad, bien sea con signo positivo o negativo.
  • El tercer término no tiene nada que ver con el primero, ni con el segundo término. Es decir que se trata de una cantidad cualquiera, sin relación alguna con las anteriores.

Ejemplo de factorización de polinomios

Ejemplo de factorizar polinomios

El siguiente ejemplo muestra la forma en que se deben factorizar polinomios que tengan esta estructura:

Factorizar el trinomio: x2 + 9x + 14

Para hacerlo, es necesario llevar a cabo el siguiente procedimiento:

  • El trinomio se tiene que descomponer en dos binomios.
  • El primer término de ambos binomios debe ser la raíz cuadrada del primer término del trinomio, es decir: “x”.
  • Los signos de los términos se establecen de este modo:
  • Si el segundo término y el tercero tienen signo positivo, ambos binomios quedarán con signo positivo.
  • Si el segundo término es negativo y el tercer término es positivo, ambos binomios tendrán signo negativo.
  • Si el segundo término es positivo y el tercero es negativo, los dos términos tendrán signos diferentes. Se le asignará el signo positivo al número de mayor valor absoluto.
  • El segundo término de los binomios deben ser dos números que al ser sumados den 9 (el coeficiente del segundo término del trinomio) y al ser multiplicados den 14 (la cantidad del tercer término).

De este modo, la factorización del trinomio tomado como ejemplo: x2 + 9x + 14, quedaría así:

x2 + 9x + 14 = (x + 7) (x + 2)

Como se observa, cada término cumple con los parámetros señalados:

  • “x” es la raíz cuadrada del primer término “x2”.
  • Como ambos términos tienen signo positivo, los dos binomios quedan con signo positivo.
  • Los segundos términos de los binomios suman entre sí 9 y al ser multiplicados dan como producto 14.

¿Tienes alguna duda sobre cómo factorizar polinomios?


Categorías

Matematicas

Administrador Cultura10

Perfil del administrador de Cultura10. Una web sobre cultura en general donde podrás estar al corriente de toda la agenda cultural en español.

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *